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配方法在公式推导中的应用
发布日期:2018-10-06

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所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式.通过配方解决数学问题的方法叫配方法,其中,用的最多的是配成完全平方式,即利用完全平方公式把一个解析式写成平方的形式.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它,这是大家所熟知的.事实上,这个方法推导了许多重要的定理,这些定理几乎遍布整个中学数学的分支,作用之大,应用之广.现在总结如下,以飨读者.

1.推导一元二次方程求根公式

求证:关于的方程的两个根为

证明:

2.推导抛物线顶点坐标公式

求证:抛物线的顶点坐标为

证明:


∴抛物线的顶点坐标为

3.证明基本不等式

求证:

证明:

4.证明余弦定理

求证:中,

证明:

5.推导圆心、圆半径公式:

求证:当时,方程表示圆,

且圆心为,半径为

证明:

∴方程表示圆,

且圆心为,半径为

6.推导球心、球半径公式

求证:当时,方程表示球,

且球心为,球半径为

证明:

∴方程表示球,

且球心为,球半径为


7.推导线性回归方程的系数

设样本数据有个点,其回归直线方程为

求证:

证明:偏差的平方和:

上式中前两项是非负数,后两项是常数,因此当且仅当前两项的值为零时,取得最小值.

所以,

以上定理证明中的配方法,涉及到对一元多项式配方,二元多项式配方,三元多项式配方;涉及到的数学分支有函数、方程、不等式,解三角形和平面向量以及解析几何和统计的知识.

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